По какой формуле определяют электроемкость плоского конденсатора. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов

По какой формуле определяют электроемкость плоского конденсатора. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов

Электроемкость – количественная мера способности проводника удерживать заряд.

Простейшие способы разделение разноименных электрических зарядов – электризация и электростатическая индукция – позволяют получить на поверхности тел не большое количество свободных электрических зарядов. Для накопления значительных количеств разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы .

Конденсатор – это система из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор.

Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины. Вне пластин напряженность электрического поля равна нулю, т. к. равные заряды разного знака на двух пластинах создают вне пластин электрические поля, напряженности которых равны по модулю, но противоположны по направлению.

Электроемкостью конденсатора называется физическая величина, определяемая отношением заряда одной из пластин к напряжению между обкладками конденсатора:

При неизменном положении пластин электроемкость конденсатора является постоянной величиной при любом заряде на пластинах.

За единицу электроемкости в системе СИ принимают Фарад. 1 Ф – электроемкость такого конденсатора, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл.

Электроемкость плоского конденсатора можно вычислить по формуле:

S – площадь обкладок конденсатора

d – расстояние между обкладками

– диэлектрическая проницаемость диэлектрика

Электроемкость шара можно вычислить по формуле:

Энергия заряженного конденсатора.

Если внутри конденсатора напряженность поля E, тогда напряженность поля, созданного зарядом одной из пластин E/2. В однородном поле одной пластины находится заряд, распределенный по поверхности другой пластины. Согласно формуле для потенциальной энергии заряда в однородном поле энергия конденсатора равна:

Используя формулу электроемкости конденсатора :

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Взаимодействие токов сила взаимодействия, магнитное поле, как реагирует

Электрический заряд... Взаимодействие зарядов Закон Кулона... Электрическое поле определение напряженность потенциал рисунок эл поля...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Перечислим свойства зарядов
1. Существуют заряды двух видов; отрицательные и положительные. Разноименные заряды притягиваются, одноименные отталкиваются. Носителем элементарного, т.е. наименьшего, отрицательного заряда являет

Взаимодействие заряженных тел
Электростатика изучает свойства и взаимодействия неподвижных в инерциальной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц. Самое простое явление, в котором обнаруживается факт сущ

Закон Кулона
Заряды, распределенные на телах, размеры которых значительно меньше расстояний между ними, можно называть точечными, т. к. в этом случае ни форма, ни размеры тел существенно не влияют на вза

Электрическое поле
Взаимодействие электрических зарядов объясняется тем, что вокруг каждого заряда существует электрическое поле. Электрическое поле заряда – это материальный объект, оно непрерывно в пространс

Напряженность электрического поля
Заряды, находясь на некотором расстоянии один от другого, взаимодействуют. Это взаимодействие осуществляется посредством электрического поля. Наличие электрического поля можно обнаружить, помещая в

Потенциал.
Разность потенциалов. Кроме напряженности, важной характеристикой электрического поля является потенциал j. Потенциал j - это энергетическая характеристика электрического поля, тог

Диэлектрики в электрическом поле
Диэлектриками или изоляторами называются тела, которые не могут проводить через себя электрические заряды. Это объясняется отсутствием в них свободных зарядов. Если одни конец диэлектрика

Полярные и неполярные диэлектрики
К неполярным относятся диэлектрики, в атомах или молекулах которых центр отрицательно заряженного электронного облака совпадает с центром положительного атомного ядра. Например, инертные газы, кисл

Поляризация неполярных диэлектриков
При отсутствии электрического поля электронное облако расположено симметрично относительно атомного ядра, а в электрическом поле оно изменяет свою форму и центр отрицательно заряженного электронног

Диэлектрическая проницаемость
Диэлектрическая проницаемость вещества – это физическая величина, равная отношению модуля напряженности электрического поля в вакууме к напряженности электрического поля в однородном диэлект

Проводники в электрическом поле
Проводниками называются тела, способные пропускать через себя электрические заряды. Это свойство проводников объясняется наличием в них свободных носителей заряда. Примерами проводников могут быть

Работа электрического поля при перемещении заряда
На пробный электрический заряд, помещенный в электростатическое поле, действует сила, заставляющая этот заряд перемещаться. Значит, эта сила совершает работу по перемещению заряда. Получим формулу

Разность потенциалов
Физическая величина, равная работе, которую совершат силы поля, перемещая заряд из одной точки поля в другую, называется напряжением между этими точками поля.

Конденсаторы.
Если изолированному проводнику сообщить заряд Dq, то его потенциал увеличиться на Dj, причем отношение Dq/Dj остается постоянным: Dq/Dj=С, где С – электрическая емкость проводника,

Электрический ток
Это направленное движение заряженных частиц. В металлах носителями тока являются свободные электроны, в электролитах – отрицательные и положительные ионы, в полупроводниках – электроны и дырки, в г

Сила тока
Сила тока – отношение заряда, пронесенного через поперечное сечение проводника за интервал времени, к этому интервалу времени.

Электродвижущая сила
Для того, чтобы в проводнике существовал электрический ток длительное время, необходимо поддерживать неизменными условия, при которых возникает электрический ток. Во внешней цепи электриче

Сопротивление проводников
Сопротивление является основной электрической характеристикой проводника. Сопротивление проводника можно определить из закона Ома:

Зависимость сопротивления проводника от температуры.
Если пропустить ток от аккумулятора через стальную спираль, то амперметр покажет уменьшение силы тока. Это означает, что с сопротивлением температуры сопротивление проводника меняется. Есл

Сверхпроводимость
В 1911 г. нидерландский ученый Камерлинг-Оннес обнаружил, что при понижении температуры ртути до 4,1 К ее удельное сопротивление скачком уменьшается до нуля. Явление уменьшения удельного сопротивле

Последовательное и параллельное соединение проводников
Проводники в электрических цепях постоянного тока могут соединяться последовательно и параллельно. При последовательном соединенииэлектрическая цепь не имеет разветвле

Закон Ома для полной цепи
Если в результате прохождения постоянного тока в замкнутой электрической цепи происходит только нагревание проводников, то по закону сохранения энергии полная работа электрического тока в замкнутой

Правило Кирхгофа.
При последовательном соединении нескольких источников тока полная эдс батареи равна алгебраической сумме эдс всех источников, а суммарное сопротивление равно сумме сопротивлений. При параллельном п

Мощность тока
Это работа, совершаемая за единицу времени и равная P=A/t=IU=I2R=U2/R. Полная мощность P0, развиваемая источником, идет на выделение тепла во внешнем и внутреннем с

Работа и мощность тока
Работу сил электрического поля, создающего электрический ток, называют работой тока. Работа сил электрического поля или работа тока на участке цепи с электрическим сопротивлением R за время

Магнитное поле.
Вокруг проводников с током и постоянных магнитов существует магнитное поле. Оно возникает вокруг любого направленно движущегося электрического заряда, а также при наличии переменного во времени эле

Магнитное взаимодействие токов
Между неподвижными электрическими зарядами действуют силы, определяемые законом Кулона. Каждый заряд создает поле, которое действует на другой заряд и наоборот. Однако между электрическими зарядами

Магнитное поле
Подобно тому как в пространстве, окружающем неподвижные электрические заряды, возникает электрическое поле, в пространстве, окружающем движущиеся заряды, возникает магнитное поле. Электричес

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца
Электрический ток – это совокупность упорядоченно движущихся заряженных частиц. Поэтому действие магнитного поля на проводник с током есть результат действия поля на движущиеся заряженные частицы в

Закон Ампера
Поместим в магнитное поле проводник длинной l, по которому течет ток I. На проводник действует сила, прямо пропорциональная силе тока, текущего по проводнику, индукции магнитного поля, длине

Закон Ампера
Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера. Экспериментальное изучение магнитного взаимодействия показывает, что модуль силы Ампера пропорциона

Магнитный поток
Магнитным потоком сквозь некоторую поверхность называют физическую величину, равную полному числу линий магнитной индукции, пронизывающих эту поверхность. Рассмотрим однородное магн

Магнетик,
термин, применяемый ко всем веществам при рассмотрении их магнитных свойств. Разнообразие типов М. обусловлено различием магнитных свойств микрочастиц, образующих вещество, а также характера взаимо

Магнитные свойства вещества
Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются, т. е. сами создают магнитное поле. Поэтому индукция магнитного поля в однородной среде отличается от индукции поля в вакууме. Фи

Магнитный поток.
Магнитным потоком Ф через некоторую поверхность S называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции на площадь этой поверхности и косинус угла между нормалью n к

Электромагнитная индукция
Возникновение эдс в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через эту поверхность, ограниченную этим контуром, называется электромагнитной индукцией. Также эдс индукции, а след

Индукция магнитного поля
Индукцией магнитного поля называется характеристика способности магнитного поля оказывать силовое действие на проводник с током. Она является векторной физической величиной. За направле

Электромагнитная индукция
Если электрический ток создает магнитное поле, то не может ли в свою очередь магнитное поле вызывать электрический ток в проводнике? Первым нашел ответ на этот вопрос Майкл Фарадей. В 1831

Закон электромагнитной индукции
Экспериментальное исследование зависимости ЭДС индукции от изменения магнитного потока привело к установлению закона электромагнитной индукции: ЭДС индукции в замкнутом контуре р

Явление самоиндукции
Ток, текущий по проводящему контуру, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток Ф, сцепленный с контуром, прямопропорционален силе тока в этом контуре: Ф=LI, где L – индуктивность контура.

Явление самоиндукции. Индуктивность
Электрический ток, проходящий по проводнику, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток через контур из этого проводника пропорционален модулю индукции магнитного поля внутри контура, а ин

Энергия магнитного поля
При отключении катушки индуктивности от источника тока лампа накаливания, включенная параллельно катушке, дает кратковременную вспышку. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источник

Электромагнитные волны.
Согласно теории Максвелла, переменное магнитное поле вызывает появление переменного вихревого эл. поля, которое, в свою очередь, вызывает появление переменного магнитного поля и т.д. Таким образом

Шкала электромагнитных волн.
Электромагнитные волны генерируются в широком диапазоне частот. Каждый участок спектра имеет свое названия. Так, видимому свету соответствует довольно узкий диапазон часто и соответственно длин вол

Лазеры и мазеры (эф. вынужденного излучения, схемы)
, источник электромагнитного излучения видимого, инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов, основанный на вынужденном излучении атомов и молекул. Слово "лазер" составлено из начальных

Геометрическая оптика
, раздел оптики, в котором изучаются законы распространения света на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии.

Ферма принцип,
основной принцип геометрической оптики. Простейшая форма Ф. п. - утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому вре

Поляризация света
одно из фундаментальных свойств оптического излучения (света), состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (направлению распространения световой вол

Интерференция света.
Это явление наложения волн с образованием устойчивой картины максимумов и минимумов. При интерференции света на экране наблюдается чередование светлых и темных полос, если свет монохроматический (и

Дифракция света.
Явление огибания волнами препятствий и попадания света в область геометрической тени называется дифракцией. Пусть плоская волна падает на щель в плоском экране АВ. Согласно принципа Гюйгенса-Френел

Принцип Гюгенеца Френеля. М-д Френеля.
. Гюйгенса - Френеля принцип.

Голография.
(от греч. hólos - весь, полный и...графия), метод получения объёмного изображения объекта, основанный на интерференции волн. Идея Г. была впервые высказана Д. Габором (Великобритания, 1948)

Сообщённый проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, что напряжённость поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику сообщить такой же заряд q, то он распределится по поверхности проводника. Отсюда вытекает, что потенциал проводника пропорционален находящемуся на нём заряду:

Коэффициент пропорциональности С называют электроёмкостью:

Электроёмкость проводника или системы проводников – физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрические заряды .

v Единица электроёмкости – фарад (Ф).

Для примера рассчитаем электроёмкость уединённого проводника, имеющего форму сферы. Используя соотношение между потенциалом и напряжённостью электростатического поля, запишем

(12.51)

R – радиус сферы.

При вычислении полагаем, что φ ∞ =0. Получаем, что электроёмкость уединённой сферы равна

(12.52)

Из соотношения видно, что электроёмкость зависит как от геометрии проводника, так и от относительной диэлектрической проницаемости среды.

Конденсаторы – это система из двух проводников, обкладок, разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок . Тогда электрическое поле, создаваемое зарядами на конденсаторе, будет практически целиком сосредоточено между его обкладками (рис.12.33). Электроёмкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сферические и слоистые конденсаторы.

ü Плоские конденсаторы (рис.12.34). Электроёмкость плоского конденсатора

(12.53)

(S – площадь обкладка конденсатора, d - расстояние между обкладками, ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющая пространство между обкладками).

ü Цилиндрические конденсаторы (рис.12.35). Электроёмкость цилиндрического конденсатора

(R 1 и R 2 – радиусы аксиальных цилиндров, ℓ- длина образующей цилиндров).

ü Сферические конденсаторы (рис.12.36). Электроёмкость сферического конденсатора

(12.55)

(R 2 и R 1 – радиусы сферы; ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами).

ü Слоистые конденсаторы. Электроёмкость слоистого конденсатора, т.е. конденсатора, имеющего слоистый диэлектрик,

(12.56)

Для получения необходимой электроёмкости конденсаторы соединяют в батарею. Различают два соединения конденсаторов: параллельное и последовательное.

ü При параллельном соединении конденсаторов общий заряд батареи равен

q = q 1 +q 2 +q 3 , но так как q 1 = U AB C 1 ; q 2 = U AB C 2 ; q n = U AB C n , то q = U AB (C 1 + C 2 +…+ C n), откуда т.е.

С= C 1 + C 2 + C 3

При параллельном соединении конденсаторов электроёмкость батареи равна сумме электроёмкостей, включённых в неё:

ü При последовательном соединении заряд батареи равен

q = q 1 = q 2 = q 3

напряжению между точками А и В

При последовательном соединении конденсаторов электроёмкость батареи

§ 12.13 Энергия электростатического поля . Объёмная плотность энергии электростатического поля

ü Энергия неподвижных точечных зарядов

Пусть два заряда q 1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим

П 1 =W 1 =q 1 φ 12 П 2 =W 2 =q 2 φ 21

(φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы поля заряда q 2 в точке нахождения заряда q 1 и заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2).

Согласно определению потенциала точечного заряда

Следовательно.

или

Таким образом,

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(φ і - потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q i) в точке, в которой находится заряд q i).

ü Энергия уединённого заряженного проводника

Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на

(С – электроёмкость проводника).

Следовательно,

т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на

dП = dW =δA= Cφdφ

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:

(12.60)

Применяя соотношение , получаем следующие выражения для потенциальной энергии:

(q - заряд проводника).

ü Энергия заряженного конденсатора

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

(12.62)

(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.

С учётом того, что Δφ=φ 1 –φ 2 = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу

(12.63)

Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.

Для однородного поля объёмная плотность энергии

Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,

Но , тогда

(12.65)

(12.66)

(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0 E - электрическое смещение поля).

Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.

Следует отметить, что выражение и справедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение p= ε 0 χE.

Выражение соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.

Пондеромоторные силы

Обкладки конденсатора, заряженные разноимённо, притягиваются друг к другу.

Механические силы, действующие на макроскопические заряженные тела, называют пондеромоторными .

Рассчитаем пондеромоторные силы, действующие на обкладки плоского конденсатора. При этом возможны два варианта:

1) Конденсатор заряжен и отключён от заряженной батареи (в этом случае количество зарядов на пластинах остаётся постоянным q = const).

При удалении одной обкладки конденсатора от другой совершается работа

за счёт которой увеличивается потенциальная энергия системы:

При этом dA = dW . Приравнивая правые части этих выражений, получаем

В данном случае при дифференцировании расстояние между пластинами обозначилось х.

2. Конденсатор заряжен, но не отключён от батареи (в этом случае при перемещении одной из пластин конденсатора будет сохраняться постоянным напряжение (U = const ). В этом случае при удалении одной пластины от другой потенциальная энергия поля конденсатора уменьшается, так как происходит «утечка» зарядов с пластин, поэтому

Но , тогда

Полученное выражение совпадает с формулой . Оно может быть представлено и в другом виде, если вместо заряда q ввести поверхностную плотность:

Поле однородно. Напряжённость поля конденсатора равна , где х – расстояние между пластинами. Подставив в формулу U 2 =E 2 x 2 , получим, что сила притяжения пластин плоского конденсатора

Эти силы действуют не только на пластины. Так как пластины, в свою очередь, давят на диэлектрик, помещённый между ними, и деформируют его, то в диэлектрике возникает давление

(S - площадь каждой пластины).

Давление, возникающее в диэлектрике, равно

Примеры решения задач

Пример 12. 5. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 1,5 кВ. Площадь пластин 150см 2 и расстояние между ними 5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами вставили стекло (ε 2 =7).Определите:

1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) ёмкость конденсатора до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика.

Дано : U 1 =1,5кВ=1,5∙10 3 В; S=150см 2 =1,5∙10 -2 м 2 ; ε 1 =1; d=5мм=5∙10 -3 м.

Найти: 1) U 2 ; 2) С 1 С 2 ; 3) σ 1 , σ 2

Решение . Так как (σ- поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора), то до внесения диэлектрика σd=U 1 ε 0 ε 1 и после внесения диэлектрика σd=U 2 ε 0 ε 2 , поэтому

Ёмкость конденсатора до и после внесения диэлектрика

Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. q=const. Поэтому Поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика

Ответ: 1) U 2 =214В; 2) С 1 =26,5пФ; С 2 =186пФ; 3) σ 1 = σ 2 =2.65 мкКл/м 2 .

Пример 12.7. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен анизотропным диэлектриком, проницаемость ε которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону ε = α + βх от ε 1 до ε 2 , причём ε 2 > ε 1 . Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти ёмкость конденсатора.

Дано : S; d; ε 1 ; ε 2

Найти: С.

Решение . Диэлектрическая проницаемость ε изменяется по линейному закону, ε = α + βх, где х отсчитывается от обкладки, у которой проницаемость равна ε 1 . Учитывая, что ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 , получаем зависимость . Найдём разность потенциалов между обкладками:


Ёмкость конденсатора будет равна

Ответ:

Пример 12.7. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U , параллельно его обкладкам помещены два слоя диэлектриков. Толщина слоёв и диэлектрическая проницаемость диэлектриков соответственно равны d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Определите напряжённость электростатических полей в слоях диэлектриков.

Дано : U ; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Найти: E 1 , E 2 .

Решение . Напряжение на пластинах конденсатора, учитывая, что поле в пределах каждого из диэлектрических слоёв однородно,

U=E 1 d 1 + E 2 d 2 . (1)

Электрическое смещение в обоих слоях диэлектрика одинаково, поэтому можем записать

D=D 1 = D 2 = ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 (2)

Из выражения (1) и (2) найдём искомое

(3)

Из формулы (2) следует, что

Ответ: ;

Пример 12.7. Площадь пластин S плоского конденсатора равна 100см 2 . Пространство между пластинами заполнено вплотную двумя слоями диэлектриков – слюдяной пластинкой (ε 1 =7) толщиной d 1 =3,5 мм и парафина (ε 2 =2) толщиной d 2 =5 мм. Определите ёмкость этого конденсатора..

Дано : S=100см 2 =10 -2 м 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5мм=3.5∙10 -3 м;, ε 1 =2; d 1 =3,5мм=5∙10 -3 м;

Найти: С.

Решение . Ёмкость конденсатора

где = - заряд на пластинах конденсатора (- поверхностная плотность заряда на пластинах); =- разность потенциалов пластин, равная сумме напряжений на слоях диэлектрика: U=U 1 +U 2 . Тогда

Напряжения U 1 и U 2 найдём по формулам

; (2)

где Е 1 и Е 2 – напряжённость электростатического поля в первом и втором слоях диэлектрика; D - электрическое смещение в диэлектриках (в обоих случаях одинаково). Приняв во внимание, что

И учитывая формулу (2), из выражения (1) найдём искомую ёмкость конденсатора

Ответ: С=29,5пФ.

Пример 12.7. Батарея из трёх последовательно соединённых конденсаторов С 1 =1мкФ; С 2 =2мкФ и С 3 =4мкФ подсоединены к источнику ЭДС. Заряд батареи конденсаторов q =40мкКл. Определите: 1) напряжения U 1 , U 2 и U 3 на каждом конденсаторе; 2) ЭДС источника; 3) ёмкость батареи конденсаторов.

Дано : С 1 =1мкФ=1∙10 -6 Ф; С 2 =2мкФ=2∙10 -6 Ф и С 3 =4мкФ=4∙10 -6 Ф; q=40мкКл=40∙10 -6 Ф.

Найти: 1) U 1 , U 2 , U 3 ; 2) ξ; 3) С.

Решение . При последовательном соединении конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, поэтому

q 1 =q 2 =q 3 =q.

Напряжение на конденсаторах

ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из последовательно соединённых конденсаторов:

ξ = U 1 + U 2 +U 3

При последовательном соединении суммируются величины, обратные ёмкостям каждого из конденсаторов:

Откуда искомая ёмкость батареи конденсаторов

Ответ: 1) U 1 = 40В; U 2 = 20В, U 3 = 10В; 2) Ɛ= 70В; 3) С= 0,571мкФ.

Пример 12.7. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой ёмкости соединены последовательно и подключены к источнику ЭДС. Как и во сколько раз изменится заряд конденсаторов, если один из них погрузить в масло с диэлектрической проницаемостью ε=2,2 .

Дано : С 1 =С 2 = С; q=40мкКл=40∙10 -6 Ф; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Найти: .

Решение . При последовательном соединении конденсаторов заряды обоих конденсаторов равны по модулю. До погружения в диэлектрик (в масло) заряд каждого конденсатора

где ξ = U 1 + U 2 (при последовательном соединении конденсаторов ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из конденсаторов).

После погружения одного из конденсаторов в диэлектрик заряды конденсаторов опять одинаковы и соответственно на первом и втором конденсаторах равны

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(учли, что ε 1 =1), откуда, если учесть, что ξ = U 1 + U 2 , найдём

Поделив (2) на (1), найдём искомое отношение

Ответ: , т.е. заряд конденсаторов возрастает в 1,37 раз.

Пример 12.7. Конденсаторы ёмкостями С каждый соединены так, как указано на рис.а. определите ёмкость С общ этого соединения конденсаторов. .


Решение . Если отключить от цепи конденсатор С 4 , то получится соединение конденсаторов, которое легко рассчитывается. Поскольку ёмкости всех конденсаторов одинаковы (С 2 =С 3 и С 5 =С 6), обе параллельные ветви симметричны, поэтому потенциалы точек А и В, одинаково расположенные в ветвях, должны быть равны. Конденсатор С 4 подключен, таким образом, к точкам с нулевой разностью потенциалов. Следовательно, конденсатор С 4 не заряжен, т.е. его можно исключить и схему, представленную в условии задачи, упростить (рис.б).

Эта схема- из трёх параллельных ветвей, две из которых содержат по два последовательно включённых конденсаторов

Ответ: С общ =2С.

Пример 12.7. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью С 1 =4пФ заряжен до разности потенциалов U 1 =100В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между обкладками конденсатора увеличили в два раза. Определите: 1) разность потенциалов U 2 на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.

Дано : С 1 =4пФ=4∙10 -12 Ф; U 1 =100В; d 2 =2d 1 .

Найти: 1)U 2 ; 2) A.

Решение . Заряд обкладок конденсатора после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. Q=const. Поэтому

С 1 U 1 = С 2 U 2 , (1)

где С 2 и U 2 - соответственно ёмкость и разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения.

Учитывая, что ёмкость плоского конденсатора , из формулы (1) получим искомую разность потенциалов

(2)

После отключения конденсатора от источника напряжения систему двух заряженных обкладок можно рассматривать как замкнутую, для которой выполняется закон сохранения энергии: работа А внешних сил равна изменению энергии системы

А= W 2 - W 1 (3)

где W 1 и W 2 – соответственно энергия поля конденсатора в начальном и конечном состояниях.

Учитывая, что и (q – const), из формулы (3) получим искомую работу внешних сил

[учли, что q=C 1 U 1 и формулу (2)].

Ответ : 1) U 2 =200В; 2) A=40нДж.

Пример 12.7. Сплошной шар из диэлектрика радиусом R=5см заряжен равномерно с объёмной плотностью ρ=5нКл/м 3 . Определите энергию электростатического поля, заключённую в окружающем шар пространстве.

Дано : R=5см=5∙10 -2 м; ρ=5нКл/м 3 = 5∙10 -9 Кл/м 3 .

Найти: W.

Решение . Поле заряженного шара сферически симметрично, поэтому объёмная плотность заряда одинакова во всех точках, расположенных на равных расстояниях от центра шара.

Энергия в элементарном сферическом слое (он выбран за пределами диэлектрика, где следует определить энергию) объёмом dV (см. рисунок)

где dV=4πr 2 dr (r – радиус элементарного сферического слоя; dr - его толщина); (ε=1 – поле в вакууме; Е – напряженность электростатического поля).

Напряжённость Е найдём по теореме Гаусса для поля в вакууме, причём в качестве замкнутой поверхности мысленно выберем сферу радиусом r (см. рисунок). В данном случае внутрь поверхности попадает весь заряд шара, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса,

Подставив найденные выражения в формулу (1), получим

Энергия, заключённая в окружающем шар пространстве,

Ответ : W=6,16∙10 -13 Дж.

Пример 12.7. Плоскому конденсатору с площадью обкладок S и расстоянием между ними ℓ сообщён заряд q , после чего конденсатор отключён от источника напряжения. Определите силу притяжения F между обкладками конденсатора, если диэлектрическая проницаемость среды между обкладками равна ε.

Дано : S; ℓ; q; ε .

Найти: F.

Решение . Заряд обкладок конденсатора после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. q=const. Предположим, что под действием силы притяжения F расстояние между обкладками конденсатора изменилось на d. Тогда сила F совершает работу

Согласно закону сохранения энергии, эта работа равна убыли энергии конденсатора, т.е.

Подставив в формулу для энергии заряженного конденсатора выражение для ёмкости плоского конденсатора , получим

Ответ:

Пример 12.7. Плоский конденсатор площадью обкладок S и расстоянием между ними ℓ подключен к источнику постоянного напряжения U. Определите силу притяжения F между обкладками конденсатора, если диэлектрическая проницаемость среды между обкладками равна ε.

Дано : S; ℓ; U; ε .

Найти: F.

Решение . Согласно условию задачи, на обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение, т.е. U=const. Предположим, что под действием силы притяжения F расстояние между обкладками конденсатора изменилось на dℓ. Тогда сила F совершает работу

Согласно закону сохранения энергии, эта работа в данном случае идёт на увеличение энергии конденсатора (сравните с предыдущей задачей), т.е.

откуда, исходя из выражений (1) и (2), получим

Подставив в формулу для энергии конденсатора выражение для ёмкости плоского конденсатора , получим

Подставив в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив дифференцирование, найдём искомую силу притяжения между обкладками конденсатора

.

где знак «-» указывает на то, что сила F является силой притяжения.

(Опр .) Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, между которыми возникает изолированное от внешних тел электрическое поле при сообщении проводникам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов .

Поясним, прежде всего, смысл термина «изолированное» в данном контексте. Здесь под ним понимается требование, чтобы все линии напряжённости начинались на одном проводнике и заканчивались на другом независимо от того, есть ли какие-либо иные заряженные или не заряженные тела вблизи конденсатора. Такое условие может быть реализовано только в том случае, когда проводники располагаются напротив друг друга на очень малом (по сравнению с их размерами) расстоянии. В этом случае проводники обычно называют «обкладками» конденсатора. В такой ситуации поле практически не выходит за пределы малой области между обкладками. Как раз поэтому, на него и не влияет «окружение» – поле изолировано. Почему это важно мы отметим чуть ниже.

Из школьного курса вам известен в основном «плоский конденсатор». Как можно догадаться из названия, он представляет собой две плоскопараллельные пластинки, разделённые тонким диэлектрическим зазором. Но существуют и другие конденсаторы, например, цилиндрические, сферические, … Возможны (и на практике применяются!) и иные формы обкладок – см. рис. 4…. Для них, по-прежнему, важна малость расстояния между обкладками.

Для чего же нужны конденсаторы и откуда такое название? Они нужны, чтобы копить (конденсировать) электрический заряд, электрическую энергию и, конечно, то, что с ними неразрывно связано – электрическое поле. Как охарактеризовать эту способность к накоплению? Способность сосудов к «накоплению» жидкости характеризуют её ёмкостью – мы говорим, например: «этот кувшин имеет ёмкость 2 литра, а эта бутылка – 0,75 литра». При этом мы имеем в виду, что в них требуется залить соответствующий объём определённой жидкости, чтобы уровень достиг фиксированной метки. Аналогично этому вводится и понятие «электроёмкости». Мы выясняем, какой заряд (сколько «электрической жидкости») следует сообщить обкладкам конденсатора, чтобы разность потенциалов между ними стала равна единице (в системе единиц СИ это 1 В). Дадим определение и обоснуем его однозначность.

(Опр .) Электроёмкостью конденсатора называется отношение модуля заряда каждой из его обкладок к разности потенциалов между ними.

В аналитической форме это выглядит так:

Здесь j 1 – j 2 – разность потенциалов между ними, причём из потенциала положительной обкладки вычитается потенциал отрицательной (т.е. эта разность – положительная величина). А обозначение q – как и было отмечено выше, означает модуль заряда каждой из обкладок конденсатора.

Теперь поясним, почему данная характеристика является однозначно определяемой и зачем нам, собственно, понадобилось требование изолированности поля внутри конденсатора. Запишем для этого как можно рассчитать разность потенциалов между обкладками конденсатора после сообщения им «равных по модулю и противоположных по знаку зарядов»:

.

Это справедливо для любого электростатического поля и любой траектории, начинающейся на положительной (1) и заканчивающейся на отрицательной (2) обкладке конденсатора. Если поле изолировано, то на него не влияют окружающие конденсатор тела, и оно полностью определяется «геометрическими факторами» (формой и размерами обкладок, расстоянием между ними) и зарядом обкладок. Более того, можно утверждать, что в этом случае в каждой точке поля его напряжённость пропорциональна заряду q на обкладках. Поэтому можно констатировать и такую пропорциональность:

~ заряд на обкладках (q ).

Но ведь это означает, что разность потенциалов между обкладками данного конденсатора строго пропорциональна сообщённому ему заряду. Коэффициент пропорциональности как раз и есть величина обратная его электроёмкости:

. (4.6)

Откуда и следует корректность данного выше определения: C = q /(j 1 –j 2).

Чем определяется (от чего зависит) электроёмкость конденсатора? Из только что проведённого анализа следует, что это, прежде всего, вышеотмеченные «геометрические факторы»:

1. размеры обкладок;

2. форма обкладок;

3. расстояние между ними.

Есть и ещё один важный фактор, влияющий на электроёмкость:

4. диэлектрическая проницаемость изолятора между обкладками e .

Пока что мы ввели эту величину достаточно формально. Можно считать, что она равна как раз отношению электроёмкости конденсатора, заполненного однородным диэлектриком к электроёмкости воздушного (строго говоря, незаполненного) конденсатора:

(4.7)

Можно ли рассчитать электроёмкость конденсатора, зная его «геометрию» и e ? В аналитической форме результат может быть получен лишь для некоторых простейших (хотя и наиболее актуальных) случаев, характеризующихся определённой симметрией – для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов. Какова процедура расчёта электроёмкости конденсатора в каждом конкретном случае?

ü 1. Прежде всего, надо определить напряжённость поля в области пространства между обкладками . Поскольку речь идёт только о выше оговоренных типах конденсаторов, для этого удобно применить теорему Гаусса.

ü 2. Найти разность потенциалов между обкладками можно теперь, используя соотношение и, выбрав для этого простейшую траекторию движения от положительной обкладки (1) к отрицательной (2) – вдоль силовой линии. Как мы уже с вами знаем из анализа понятия электроёмкости конденсатора (см. 4.6) результатом обязательно будет величина пропорциональная заряду обкладок q .

ü 3. Воспользоваться определением электроёмкости конденсатора, поделив модуль заряда обкладок q на полученный в предыдущем пункте результат для разности потенциалов j 1 – j 2 .

Пример. Покажем, как реализовать на практике эту программу действий на примере расчёта электроёмкостиплоского конденсатора .

ü 1. Плоский конденсатор, как мы хорошо помним из школьного курса, состоит из двух плоскопараллельных проводящих пластин разделённых тонким диэлектрическим зазором. На первый взгляд теорема Гаусса не годна для определения напряжённости поля в области пространства между обкладками в такой система – ведь очевидно, что такое поле существенно несимметрично по отношению к каждой из заряженных пластин . Выбрать поверхность, соответствующую требованиям, о которых мы говорили, обсуждая применение теоремы Гаусса (см. п. 4.4), не представляется возможным. Всё, однако, меняется, если мы уберём на время одну из пластин, а оставшуюся будем считать «бесконечной плоскостью» (на практике – тонкой пластиной очень большой площади). Процедуру применения теоремы Гаусса для этого случая проведём по «укороченной схеме» – надеюсь, вы хорошо её уже освоили на наших практических занятиях.

Начнём, как обычно, с рисунка, и большую часть необходимой «работы» проиллюстрируем именно на нём – см. рис. 4.4. Поток вектора напряжённости через выбранную нами замкнутую поверхность прямого кругового цилиндра S равен:

Заряд, оказавшийся внутри этой поверхности равен s ·S осн . . В соответствии с теоремой Гаусса приравниваем:

и получаем отсюда значение напряжённости поля:

(4.8)

Как видим, напряжённость не зависит от координаты х – расстояния от заряженной плоскости, т.е. это поле является однородным. Конечно же, это соответствует лишь гипотетическому случаю «бесконечной заряженной плоскости». В реальности таких бесконечных зарядов быть не может – практически это означает, что полученный нами результат (4.8) будет справедлив на небольших расстояниях от заряженной плоскости.

Теперь вернёмся к вопросу о поле между обкладками плоского конденсатора. Оказывается это поле совсем нетрудно определить, используя принцип суперпозиции. Проиллюстрируем его применение на рисунке – см. рис. 4.5. Изобразим силовые линии полей, созданных каждой из пластин по отдельности. Видно, что между пластинами напряжённости полей совпадают по направлению, а вне этой области направлены в противоположные стороны. Поскольку заряды пластин q равны по модулю (а значит и плотности зарядов s ), то равны по модулю и напряжённости. А это означает, что поля снаружи взаимно уничтожают друг друга и напряжённость результирующего поля равна нулю. Напротив, в области между пластинами направление полей совпадают и результирующая напряжённость оказывается вдвое больше, чем у поля одной пластины. Обобщим эти выводы:

Здесь для придания векторного характера нашим записям мы использовали обозначение – единичный вектор направления поля положительной пластины в области между обкладками конденсатора (можно было бы использовать также и обозначение ). Выпишем ещё раз результат уже только для модуля напряжённости:

(4.9)

ü 2. Чтобы найти разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора выберем траекторию вдоль любой силовой линии, а значит и вдоль оси ОХ, от положительной обкладки до отрицательной. Получим:

ü 3. Теперь остаётся только воспользоваться определением электроёмкости конденсатора и очевидным соотношением между зарядом пластин, их площадью и поверхностной плотностью заряда s = q /S :

Сократив на q , мы получаем электроёмкость «воздушного» плоского конденсатора. Учтём ещё, что электроёмкость конденсатора, заполненного однородным диэлектриком, как следует из соотношения (4.7), равна электроёмкости воздушного конденсатора умноженной на диэлектрическую проницаемость e . Окончательно получаем хорошо знакомую со школы «формулу» для электроёмкости плоского конденсатора:

(4.10)

где S – площадь обкладок конденсатора, а d – расстояние между ними.



top