Тема: Расчет параметров четырехполюсника

 Тема: Расчет параметров четырехполюсника

Определение параметров простейших четырехполюсников. Рассмотрим схемы простейших четырехполюсников, которые изображены на рис. 5.7,а и б.

Рис. 5.7. Схемы простейших четырехполюсников.

На основании закона Кирхгофа для схемы (рис. 5.7,а) можно записать: U1= U2 + I2Z1; I1 = I2. На основании сравнения этих уравнений с уравнениями передачи в А-параметрах (5.7) для рассматриваемой схемы можно записать матрицу А-параметров:

Для схемы рис. 5.7,б на основании закона Кирхгофа запишем следующие уравнения: U1 = U2; I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому матрица А-параметров будет иметь вид:

Зная матрицы А-параметров, используя таблицу пересчета (5.1), можно получить матрицы Y, Z и Н-параметров.

Используя схемы простейших четырехполюсников можно составить схемы типовых четырехполюсников.

Определение параметров типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относятся Г-, Т-, П-образные схемы, которые изображены на рис. 5.8,а, б, в.


Рис. 5.8 Схемы Г-образного (а), Т-образного (б) и П-образного (в) четырехполюсников.

Г-образный четырехполюсник (рис. 5.8,а) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников (рис. 5.7,а и б). Следовательно, его матрицуА-параметров можно получить перемножением матриц (5.71) и (5.72):

. (5.73)

Т-образный четырехполюсник (рис. 5.8,б) образуется путем каскадного соединения Г- образной схемы (рис. 5.8,а) с элементами Z1 и Z2 и схемы (рис. 5.7,а) с элементом Z3 в продольном плече. Тогда его матрица А-параметров определяется как произведение матриц Аг и матрицы (5.71), в которой Z1 заменено Z3.

Выполняя перемножение матриц Аг и А′1 получим:

. (5.74)

П-образный четырехполюсник (рис. 5.8,в) образуется путем каскадного соединения простейшего четырехполюсника (рис. 5.7,б) с элементомZ1 и Г-образного четырехполюсника (рис. 5.8,а) с элементами Z2 и Z3 в продольном и в поперечном плечах. Следовательно, его матрицу А-параметров можно получить перемножением матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:

, (5.75)

Матрица А′г получена из (5.73) путем замены Z1 на Z2 и Z2 на Z3, а матрица А′2 - из (5.72) путем замены Z2 на Z1.

Зная А-параметры типовых четырехполюсников используя таблицу (5.1) можно определить другие интересующие нас параметры Г-, Т- и П-образных четырехполюсников.

При анализе сложных четырехполюсников необходимо выделить в их составе простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. После этого с помощью матричных методов расчета можно определить матрицы сложного четырехполюсника.

Экспериментальный способ определения параметров четырехполюсника. Если схема четырехполюсника неизвестна, то его параметры можно определить экспериментальным путем, используя режимы холостого хода и короткого замыкания.

Рис. 5.9. Схема для экспериментального определения параметров четырехполюсника.

Определим А-параметры четырехполюсника.

Для этого на входе четырехполюсника подключим вольтметр (V), амперметр (А) и фазометр (φ), как показано на рис. 5.9.

Переведем четырехполюсник в режим холостого хода по выходу (I2=0) и измерим с помощью приборов Iх.х.1, Uх.х.1 и φх.х.1.

В случае, когда I2 = 0 система А-параметров имеет вид.

Введение

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электронной цепи, т.е. четырёхполюсники.

На практике четырёхполюсники и цепи, которые целесообразно представлять состоящими из нескольких четырёхполюсников, применяются, прежде всего, для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырёхполюсников, включённых между генератором (передатчиком) сигналов и приёмником сигналов. В тракт передачи обычно входят: линия связи генератора и приёмника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого; усилители, в которых увеличивается мощность; аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов; фильтры для разделения сигналов; корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов; трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации, и устраняется гальваническая связь между этими участками.

Таким образом, теория четырёхполюсников даёт возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.

1. Основные уравнения четырёхполюсника

четырехполюсник электрический расчет

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных режима. Трансформатор, линию передачи энергий, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсник.

Рисунок 1 - положительные направления для токов и напряжений в активном четырехполюснике

Принято изображать четырёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) mn и pq (рисунок 1). Если четырёхполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это значит, что четырёхполюсник пассивный. Входной ток обозначают, входное напряжение; ток и напряжение на выходе - и.

Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам mn, как правило, присоединяется источник питания; к выходным зажимам pq - нагрузка.

Предполагается, что нагрузка четырёхполюсника и напряжение на входе при работе четырёхполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырёхполюсника и сопротивления в ней остаются неизменными.

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе и связаны с напряжением и током на выходе и двумя основными уравнениями:

В этих уравнениях комплексные коэффициенты A, B, C, D зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от значений сопротивлений схемы и от частоты. Для каждого четырёхполюсника их можно определить расчетным или опытным путём. Коэффициенты связаны соотношением:

Форма записи уравнений (1) называют формой А.

Помимо А-формы для расчёта токов и напряжений в четырёхполюснике используются и другие формы записи уравнений. К ним относятся:

Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, А- и В-форм, Н- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для А-формы (её считают основной) положительные направления для токов и напряжений соответствуют рисунку 1, а для Y-, Z-, H-, G-форм - рисунок 2, а, В-форме - рисунок 2,б.

Рисунок 2 - положительные и отрицательные направления токов и напряжений в четырехполюсниках

Четырёхполюсник называют симметричным, если при замене первичных зажимов вторичными токи источника и приёмника не изменяются. Уравнения симметричного четырёхполюсника должны остаться неизменными при взаимной первичных и вторичных зажимов. Поэтому A = D и разметка первичных и вторичных зажимов для симметричного четырёхполюсника не обязательна. Все четырёхполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.

Комплексные коэффициенты при всех формах записи уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а также от частоты источника питания. Соотношения между коэффициентами четырехполюсника при различной форме записи уравнений даны в таблице 1. В этой таблице определители матриц Z, Y, H и A находятся по формулам:

Таблица 1

Определяемые параметрыИзвестные параметрыYZHAB Y Z

2. Определение коэффициентов четырёхполюсника

Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четырёхполюсника определяют опытным путем или расчётом, причём в последнем случае величины сопротивлений или проводимостей ветвей, составляющих четырёхполюсники, и схема их соединений должны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В, С, D следует, что их значения получаются различного сочетания трёх постоянных величин: Z11 (входного сопротивления со стороны зажимов mn при разомкнутых зажимах pq); Z22 (входного сопротивления со стороны зажимов pq при разомкнутых зажимах mn) и Z12 = Z21 (взаимного сопротивления). Таким образом, для экспериментального определения этих коэффициентов достаточно иметь данные опытов, которые в той или форме определяют комплексные величины Z11, Z22 и Z12 = Z21 или другие комплексные величины, через которые искомые коэффициенты могут быть выражены.

Если одновременно можно измерить как первичные (и), так и вторичные (и) комплексные величины, то для определения коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данных только двух опытов. Проще всего значения этих коэффициентов вычисляются по данным опытов при (режим холостого хода) или (режим короткого замыкания).

При режиме х. х. первичные напряжение и ток определяются из уравнений

и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при х.х.

При режиме к.з. на вторичных зажимах

и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при к.з. вторичных

Следовательно, измерив величины и фазы, и при х.х., а также, и при к.з., можно определить все коэффициенты четырёхполюсника.

Различные формы записи уравнений четырёхполюсника. Соединение четырёхполюсника

Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей используют обычно Y- или Z-форму записи. Параметры транзисторов для малых переменных составляющих дают в Y-, H- или Z-форме, так как в этих формах их удобнее определить опытным путём.

При нахождении связи между входными и выходными величинами различным образом соединённых четырёхполюсников (при определении коэффициентов эквивалентного четырёхполюсника) используют Z-, H-, G- и А-формы.

Рисунок 3 - виды соединения четырехполюсников

При последовательном соединении четырёхполюсников а и б (рис. 3, а) применяют Z-форму, при параллельном соединении (рис.3, б) - Y-форму, при последовательно-параллельном (рис. 3, в) - Н-форму, при параллельно-последовательном (рис.3, г) - G-форму, при каскадном соединении (рис. 3, д) - А-форму.

Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобства получения матрицы составного четырёхполюсника. Так, Z-матрица последовательно соединённых четырёхполюсников равна сумме Z-матриц этих четырёхполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равно сумме напряжений на входе (выходе) составляющих его четырёхполюсников, а токи соответственно на входе (выходе) у последовательно соединённых четырёхполюсников одинаковы. матрица параллельно соединённых четырёхполюсников равна сумме их Y-матриц, так как ток на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно соединённых четырёхполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы.

Аналогично, и в отношении Н-матрицы при параллельно-последовательных соединениях четырёхполюсников. При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого четырёхполюсника равны входному току и напряжению второго четырёхполюсника, поэтому А-матрица двух каскадно соединённых четырёхполюсников а и б равна произведению А-матриц этих четырёхполюсников:

При параллельном, последовательном, параллельно-последовательном и последовательно-параллельном соединениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения четырёхполюсников - через оба первичных зажима каждого четырёхполюсника должны течь равные по значению и противоположные по направлению токи; то же и по отношению и к вторичным зажимам.

При регулярном соединении матрица каждого четырёхполюсника должна оставаться такой же, какой она было до соединения четырёхполюсников. Пример нарушения условия регулярности при последовательном соединении показан на рисунке 4,а. Так соединять четырёхполюсники 1 и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго четырёхполюсника оказались накоротко соединёнными с его выходными зажимами.

Регулярное соединение тех же четырёхполюсников показано на рисунке 4,б - перекрещены обе пары концов второго четырёхполюсника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы остаются неизменными).

Рисунок 4 - регулярные соединения четырехполюсников

Применение четырёхполюсников

Четырёхполюсники широко применяются в электронике. С их помощью можно преобразовывать ток, напряжение, сдвиг фаз между ними. Между тем в качестве четырёхполюсников можно рассматривать такие приборы как трансформаторы, транзисторы и для них рассчитывать параметры различных форм, чтобы облегчить расчёты схем.

Моделирование

Определить A-параметры трансформатора на рис. 5, а также рассчитать Z-параметры, если R1 = 10 Ом; Х1 = 60 Ом; R2 = 8 Ом; Х2 = 40 Ом; ХМ = 30 Ом.

Рисунок 5 - трансформатор

Основные уравнения для A-параметров:

Определим эти параметры по второму закону Кирхгофа:

Упростим выражение, заменив, получим:

где проведём аналогичную замену, т.е.

Отсюда

Получаем следующие коэффициенты:

Теперь запишем уравнения для Z-параметров:

Подставим найденные значения в уравнения (2):

Рисунок 6 - четырехполюсник

Уравнения для Y-параметров:

Для начала мы преобразуем П-схему четырёхполюсника в эквивалентную ей звезду:

Рисунок 7 - П-схема эквивалентная схеме на рис. 6

Найдем сопротивления эквивалентной цепи:

Для решения задачи воспользуемся режимом короткого замыкания:

Рисунок 8 - режим короткого замыкания

Следовательно, из уравнений (1) получим:

Из схемы видно, что напряжение можно найти по второму закону Кирхгофа:

Ток найдём по первому закону Кирхгофа:

Из этого уравнения выразим ток:

Подставим (3) в (2):

Найдем коэффициент:

Аналогично находим остальные коэффициенты уравнения (1):

Чтобы найти коэффициент произведем режим к.з. в обратную сторону, тогда

Промоделируем данную схему в программе Electronics Workbench.

Проведем опыт короткого замыкания:


Чтобы убедиться в правильности схемы, рассчитаем ток.

Исходные данные:

Рассчитаем полное сопротивление цепи:

Подставим численные значения:

Ток получился приблизительно равный току, который мы получили при моделировании данной схемы.

Заключение

Таким образом, в ходе проведения курсового исследования мы рассмотрели теорию четырёхполюсников, определяли формы записи и постоянные коэффициенты четырёхполюсника, сделали моделирование и проверили расчетным путем его достоверность. Также были решены задачи по нахождению постоянных коэффициентов для различных схем.

Список литературы

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Теория четырёхполюсников/ Л.А. Бессонов.- 6-е изд., перераб. и доп. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. М.:Высшая школа, 1973. - 752 с.

.Ионкин П.А. Теоретические основы электротехники. Т. I. Основы теории электрических цепей: теория четырёхполюсников/ П.А. Ионкин, А.И.

.Даревский, Е.С. Кухаркин. Учебник для электротехн. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1976. - 544 с.

.Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди.- 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1980. - 472 с.

.Галас В.П. Моделирование и анализ электрических схем в среде EWB: Практикум для студентов / В.П. Галас. Владим. Гос. ун-т.; Владимир,2003. -52 с.

12. Основы теории четырехполюсников

12.1. Общие положения

В технике связи под четырехполюсником понимают электрическую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. Зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка), - выходными зажимами (полюсами).

В качестве примеров четырехполюсников можно привести трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются электрические фильтры, усилительные устройства радиопередатчиков или радиоприемников, линия междугородной телефонной связи и т. д. Все эти устройства, имеющие совершенно "непохожие" схемы, обладают рядом общих свойств.

В общем, виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 12.1. Ко входу четырехполюсника 1-1" подключен источник электрической энергии с задающим напряжением Uг и внутренним сопротивлением Zг. К выходным зажимам 2-2" присоединена нагрузка с сопротивлением Zн. На входных зажимах действует напряжение U1; на выходных - U2. Через входные зажимы протекает ток I1, через выходные зажимы - I2. Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 12.1 использованы символические обозначения напряжений и токов, что справедливо при анализе четырехполюсника в режиме гармонических колебаний. Если же используется источник периодических негармонических или непериодических колебаний, то можно воспользоваться спектральным представлением напряжений и токов (см. , )

Подобное представление будем широко использовать при анализе частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых случаях обращаться к операторным изображениям Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), которые легко получить, заменяя оператор jw на оператор р (см. ).

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линейные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не содержат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных - преобразователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпрямитель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали). Усилитель, содержащий НЭ (например, триоды), может являться как линейным, так и нелинейным четырехполюсником в зависимости от режима его работы (на линейном или нелинейном участке характеристик триодов).


Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассивные схемы не содержат источников электрической энергии, активные - содержат. Последние могут содержать зависимые и независимые источники. Примером активного четырехполюсника с зависимыми источниками может служить любой усилитель; примером пассивного - LC-фильтр.

В зависимости от структуры различают четырехполюсники мостовые (рис. 12.2, а) и лестничные: гобразные (рис. 12.2, б), тобразные (рис. 12.2, в), побразные (рис. 12.2, г). Промежуточное положение занимают тобразномостовые (тперекрытые) схемы четырехполюсников (рис. 12.2, д).

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметричные. В симметричном четырехполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно вертикальной оси симметрии. Так, тобразный, побразный и тперекрытый четырехполюсники (рис. 12.2) имеют вертикальную ось симметрии при Z1 = Z3. Мостовая схема структурно симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравновешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизонтальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 12.2, а) и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какойлибо точки (например, земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.

Четырехполюсники также делятся на обратимые и необратимые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов.

12.2. Уравнения передачи четырехполюсника

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U1, U2, I1 и I2, называются уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных четырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить параметры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависимость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напряжений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить обратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти параметры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (Iк1 = I1), второй контур - к его выходу (Iк2 = I2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов:

Определим из этой системы токи I1 и I2. где DZ - определитель системы уравнений (12.1); D11, D22, D12 и D21 - алгебраические дополнения определителя DZ.

Введем обозначения

Тогда

Коэффициенты Y11, Y12, Y21 и Y22 в уравнениях (12.2) называются Y-параметрами, или параметрами проводимостей четырехполюсника, так как по размерности они являются именно таковыми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырехполюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют собой одну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют находить любую пару из значений I1, I2, U1 и U2, если заданы значения другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U1, U2 и токи I1, I2 содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений четырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями передачи в Z-параметрах. Параметры Z11, Z12, Z21 и Z22 имеют размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, таким образом, например Не следует также путать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Z11, Z12 и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U1 и I1 и выходные U2 и I2 напряжения и токи называются апараметрами, или обобщенными параметрами. Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в апараметрах. Параметры A11 и A22 являются безразмерными, параметр A12 имеет размерность сопротивления; параметр A21 - размерность проводимости.

Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты H11, H12, H21 и H22 называются нпараметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры H12 и H21 являются безразмерными, а параметры H11 и H22 имеют размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты F11, F12, F21 и F22 называются F-параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F12 и F21 безразмерные, а параметры F11 и F22 имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) называются соответственно уравнениями передачи в H-параметрах и F-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, которая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений передачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, систему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y11, Y12, Y21, Y22.

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы параметров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентными, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.

Свойства параметровкоэффициентов. Системы Y-, Z-, а, н и F-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названием параметрыкоэффициенты. Рассмотрим основные свойства параметровкоэффициентов.

1. Параметрыкоэффициенты определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе гобразного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), подключенного к внешним цепям, действует напряжение U1 и ток I1, а на выходе напряжение U2 и ток I2. Определим апараметры четырехполюсника. В соответствии с ЗНК и 3TK U1 = U2 + I1Z1 и I1 = U2/Z2 + I2. Подставляя выражение для тока I1 в первое равенство, получаем

Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в апараметрах (12.4), находим. Как видим, апараметры определяются только элементами гобразного четырехполюсника и не зависят от внешних воздействий.

2. Все системы параметровкоэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметровкоэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между апараметрами и Z-параметрами. Решая систему уравнений в Z-параметрах (12.3) относительно неизвестных U1 и I1, находим: где DZ = Z11Z22 - Z12Z21 - определитель системы уравнений (12.3).

Сравнивая эту систему уравнений с системой (12.4), устанавливаем, что A11 = Z11/Z22; A12 = -DZ/Z21; A21 = 1/Z21 и A22 = -Z22/Z21. Решая систему (12.4) относительно неизвестных U1 и U2, можно найти выражение Z-параметров через апараметры: где DA = A11A22 - A12A21 - определитель системы уравнений (12.4).

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными системами параметровкоэффициентов.

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные сопротивления Zkm и Zmk k-го и m-го контуров равны между собой. Следовательно, Y12 = -Y21. Зная связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить, что Z12 = -Z21. Далее можно показать, что для апараметров справедливо соотношение

Это легко доказать, если выразить в данном определителе апара-метры, например, через Z-параметры.

Наконец, аналогичным образом можно найти, что H12 = H21 и F12 = F21.

Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника могут быть: Y11, Y12 = -Y21, Y22; Z11, Z12 = -Z21, Z22; H11, H12 = = H21, H22; F11, F12 = F21 и F22 или любые три из параметров A11, A12, A21 и A22.

4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях, включающих апараметры, коэффициенты A11 и A22 меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в обратном направлении, т. е. от зажимов 2-2" к зажимам 1-1" (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напряжение U1 и ток I1 на зажимах 1-1" на напряжение U2" и ток -I2" в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U2 и ток I2 на зажимах 2-2" на величины -U1" и -I1", то (12.4) можно переписать в виде

Решая эту систему относительно нового входа четырехполюсника, т. е. относительно переменных U1" и I1", получаем

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры A11 и A22 поменялись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в которые входят апараметры.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изменяются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения передачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что A11 = A22. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y11 = = -Y22; Z11 = -Z22 и DH = -1.

Любой симметричный пассивный четырехполюсник полностью описывается двумя независимыми параметрами: A11 = A22 и любым из параметров A12 и A21 (так как они связаны уравнением A11A22 - - A12A21 = 1); Y11 = -Y22 и Y12 = -Y21; Z11 = -Z22 и Z12 = -Z21; H12 = H21 и любым из параметров H11 и H22 (так как для симметричных четырехполюсников H11H22 - H12H21 = -1); F12 = F21 и любым из параметров F11 и F22.

6. Параметрыкоэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырехполюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX -размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ - замыкания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2-2" (см. рис. 12.1) ток I2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I2, например уравнения (12.3) в Z-параметрах, имеют вид:

Коэффициент Z11 = U1/I1 при I2 = 0 есть входное сопротивление четырехполюсника, измеренное со стороны зажимов 1-1" при разомкнутых зажимах 2-2" или входное сопротивление XX.

Коэффициент - отношение комплексного действующего напряжения на разомкнутых зажимах 2-2" четырехполюсника к комплексному действующему току, протекающему через зажимы 1-1", или взаимное (передаточное) сопротивление XX.

Рассматривая режим XX на зажимах 1-1" (I1 = 0), убеждаемся из уравнений (12.3), что Z22 - выходное сопротивление четырехполюсника при разомкнутых входных зажимах, a Z12 - взаимное (передаточное) сопротивление при XX на зажимах 1-1".

Предлагаем читателю самостоятельно установить физический смысл остальных параметров, "устраивая" поочередно XX на зажимах 2-2" (I2 = 0) и зажимах 1-1" (I1 = 0) и КЗ на этих же зажимах (U2 = 0 и U1 = 0) и используя соответствующие уравнения передачи (12.2), (12.4) и (12.5).

7. Из предыдущего свойства следует, что параметрыкоэффициенты являются комплексными величинами, так как они определяются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что параметрыкоэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jw. При переходе от оператора jw к оператору р параметрыкоэффициенты представляют собой рациональные функции оператора р.

Пример. Для четырехполюсника на рис. 12.2, б определим параметр Z11. Исходя из физического смысла параметра Z11 (он является входным сопротивлением гобразной схемы при разомкнутых зажимах на выходе), определяем из рис. 12.2, б: Z11 = Z1 + Z2.

Этот же результат можно получить следующим образом: где значения параметров A11 и A21 взяты из первого примера этой главы.

Пусть далее двухполюсник Z1 состоит только из индуктивности L, а двухполюсник Z2 - только из емкости С. Тогда, используя операторную форму записи, получаем т. е. Z11 является дробнорациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции - мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р1 = 0. При замене оператора р оператором jw переходим к частотной характеристике

Полученные выражения Z11(р) и Z11(jw) напоминают выражение входного сопротивления последовательного LC-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление гобразной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z1, и Z2 (индуктивности и емкости), т. е. Z11 является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).

12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (12.2) где слева и справа записаны матрицы-столбцы.

Действительно, выполняя операцию умножения в правой части (12.7), имеем

Из равенства этих матриц следует система уравнений (12.2). Система уравнений в Z-параметрах в матричной форме записи имеет вид:

Для уравнений передачи в апараметрах

Наконец, запишем в матричной форме системы уравнений передачи в нпараметрах и F-параметрах:

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехполюсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четырехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении U2"=U1"" I2"=I1"". Для каждого из четырехполюсников можно составить матричные равенства:

Так как матрицы равны между собой, получаем для результирующего четырехполюсника.

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных матриц соединенных четырехполюсников: А = А"А"". Это правило распространяется на любое число каскадно соединенных четырехполюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения и, т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюсников в результирующем четырехполюснике складываются. Записывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехполюсника и складывая эти матричные равенства, получаем



При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z" + Z"".

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где и, матрица Y результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y" + Y"".

Матрицы Н удобно применять при смешанном - последовательнопараллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом H = H" + H"".

Матрицы F удобно применять при параллельнопоследовательном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = = F" + F"".

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относят г, т, побразные схемы (см. рис. 12.2, бг), мостовые (см. рис. 12.2, а) и тперекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных методах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рассматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из соединений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изображенные на рис. 12.8, а и б. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: U1 = U2 + I2Z1 и

I1 = I2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями в апараметрах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехполюсника:

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) имеем U1 = U2 и I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому

Другие матрицы - Z, Y и Н - могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюсника не существует Z-параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего четырехполюсника не существует Y-параметров.

На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещенное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению соответствует матрица а скрещенному соединению - матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсников, изображенных на рис. 12.2. гобразный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица

А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц простейших четырехполюсников:

Для тобразного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу А можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение гобразной схемы с элементами Z1 и Z2 и простейшей схемы с элементом Z3 в продольном плече (рис. 12.8, а):

Для побразной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изображенного на рис. 12.8, б и гобразного четырехполюсника с элементами Z2 в продольном плече и Z3 в поперечном плече, матрица

Зная апараметры г, т и побразных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметровкоэффициентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно представить как параллельное соединение двух простейших четырехполюсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехполюсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны

Отсюда матрица Y мостовой схемы

С помощью табл. 12.1 можно получить матрицы А и Z мостового четырехполюсника:

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры тперекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, д), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с сопротивлением Z4 в продольном плече и тобразного четырехполюсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y-параметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить Y11 = Y12 = Y22 = 0 и Y21 = НY, то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким образом, Y-матрица идеального ИТУНа равна

Воспользовавшись таблицей 12.1, можно записать его а-матрицу:

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в нпараметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая Н11 = = Н12 = Н22 = 0 и Н21 = Нi переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид а переход с помощью таблицы 12.1 к аматрице дает

Если использовать систему уравнений (12.3) в Z-параметрах, то получаем схему с двумя источниками типа ИНУТ (рис. 12.11, в). Полагая Z11 = Z12 = Z22 = 0 и Z21 = НZ, приходим к идеальному источнику напряжения, управляемому током (рис. 1.7, в). Значит Z-матрица идеального ИНУТ записывается в виде

Соответствующая ей а-матрица равна

Система уравнений четырехполюсника в F-параметрах (12.5) связывает входной ток I1 и выходное напряжение U2 с остальными двумя величинами U1 и I2:

Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При F11 = F12 = F22 = 0 и F21 = Нu данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, F-матрица ИНУН записывается в виде: и соответствующая ей а-матрица:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, работающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в н или Y-параметрах. Иногда используются также Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и нпараметров транзисторов приводятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от того, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, коллектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и нпараметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора прп типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, а). Его схема замещения в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при Y11 = 1/RБЭ, Y12 = 0, Y21 = HY и Y22 = 0 обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица биполярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

По формулам табл. 9.1 находим матрицы А и Н транзистора:

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе сложного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения нпараметров каскада усилителя на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и побразного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для побразной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y побразного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y-параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y побразного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.

12.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре зажимов четырехполюсника, например 2-2", подключить произвольное сопротивление Zн (рис. 12.14, а), то со стороны другой пары зажимов, т. е. 1-1", четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением Zвх1, которое называют входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно, Zвх1 = U1/I1.

Входное сопротивление можно выразить через параметры четырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись выражениями для U1 и I1 из уравнений передачи в апараметрах (12.4). В этом случае

На рис. 12.14, б показан тот же четырехполюсник, нагруженный со стороны зажимов 1-1 на сопротивление Zг. Его входное сопротивление со стороны зажимов 2-2 равно Zвх2 = U1"/I1".

В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии, следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

Заметим, что при изменении направления передачи энергии через четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры A11 и A22 поменялись местами (см. свойство 4, 12.2. Уравнения передачи четырехполюсника).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы (12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехполюсника при произвольных сопротивлениях нагрузки Zн и Zг. Из них легко получить значения Zвх1 и Zвх2 при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2-2" (выходные зажимы разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1-1" обозначается Zхх1 и определяется из формулы (12.11) при Zн = Ґ:

Аналогично входное сопротивление со стороны зажимов 2-2" при разомкнутых зажимах 1-1" определяется из (12.12) при Zг = Ґ:

При коротком замыкании зажимов 2-2" и 1-1" в формулах (12.11) и (12.12) нужно положить Zн = 0 и Zг = 0. В этом случае

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ легко получить, что Zxx1/Zxx2 = Zкз1/Zкз2, т. е. только три параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров достаточно для составления уравнений передачи пассивного четырехполюсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена любая система параметровкоэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра независимы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника параметры А11 = А22 и, следовательно, Zxx1 = Zxx2 и Zкз1 = Zкз2, т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами XX и КЗ.

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включенный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия: Zвx1 = Zг и Zвx2 = Zн, т. е. входное сопротивление четырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением генератора, а выходное - с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благоприятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Остается не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согласованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zг и Zн, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называются характеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2. Индекс "l" указывает на то, что характеристическое сопротивление определяется со стороны зажимов 1-1", а индекс "2" - со стороны зажимов 2-2".

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления генератора выбрать Zг = Zс1, а в качестве сопротивления нагрузки Zн = Zс2, то Zвх1 будет равно Zс1, a Zвх2 = Zс2. Рисунок 12.15 иллюстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюсника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопротивление генератора выбрано равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника Zс1, а сопротивление нагрузки равным характеристическому сопротивлению Zс2.

Положив в (12.16) Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2 = Zн = Zс2, получим

Совместное решение этих уравнений относительно величин Zс1 и Zс2 дает выражение характеристических сопротивлений через апараметры:

Характеристическое сопротивление можно выразить через параметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если воспользоваться формулами (12.13)-(12.15), где параметры XX и КЗ выражены через апараметры:

Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный гобразный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z1 = 1600 Ом, Z2 =900 Ом. Включим его согласованно с генератором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника со стороны зажимов 1-1", т. е. Zг = Zс1. Чтобы согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам 2-2" сопротивление нагрузки Zн = Zс2.


Матрица А четырехполюсника имеет вид

Зная апараметры, по формулам (12.17) определяем характеристические сопротивления четырехполюсника: = 2000 Ом и = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ из формулы (12.18). Последние можно определить непосредственно из схемы: Zхх1 = Z1 + Z2 = 2500 Ом, Zкз1 = Z1 = 1600 Ом и, следовательно, = 2000 Ом. Аналогично Zхх2 = Z2 = 900 Ом, Zкз2 = Z1Z2/(Z1 + + Z2) = 580 Ом и = 720 Ом.

Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным Zг = = 2000 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = 720 Ом.

Схема согласованного включения четырехполюсника показана на рис. 12.16. Входное сопротивление четырехполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных элементах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии - характеристическую (собственную) постоянную передачи четырехполюсника, определяемую через отношение произведения напряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению напряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом масштабе причем все токи и напряжения измеряются или вычисляются в режиме согласованного включения четырехполюсника, т. е. при Zг = = Zс1 и Zн = Zс2.

Так как U1 = I1Zвх1 = I1Zс1 и U2 = I2Zвх2 = I1Zс2, характеристическую (собственную) постоянную передачи можно представить в иных формах записи

Если четырехполюсник симметричный, то из (12.17) следует, что Zс1 = Zс2 = Zс, а из (12.20)

Так же, как и характеристические сопротивления, характеристическую постоянную передачи можно выразить через параметрыкоэффициенты. Чтобы выразить Гс через апараметры, представим ток из (12.4) в виде I1 = А21U2 + А22I2. Так как при согласованном включении U2 = I2Zн = I2Zс2, то I1 = (А21Zс2 + А22)I2. Подставляя выражение для I1 в (12.20) и учитывая из (12.17), что

Приведем без вывода связь собственной постоянной передачи с параметрами XX и КЗ:

С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные физические представления. Воспользуемся выражением (12.19)

Величина где S1 и S2 - полные мощности на входе и выходе четырехполюсника при согласованном его включении, называется характеристическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режиме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Единица измерения отношений величин в масштабе натуральных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).

Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = = 7,39 раза (так как при имеем S1/S2 = e2), а в симметричном четырехполюснике - уменьшение напряжения и тока в е = 2,718 раз (так как при

На практике принято вычислять и измерять ослабление в других единицах - белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б - в 100 раз и т. д. Вместо формулы (12.25) в этом случае используют формулу

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу - децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Для симметричных четырехполюсников вместо (12.26) удобно пользоваться формулой Между неперами и децибелами существует связь: 1 Нп = 8,7 дБ; 1 дБ = 0,115 Нп.

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его входом - в 10000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четырехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного - Ас = 10 lg 10000 = 40 дБ. Кроме того, для симметричного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по напряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10000 = 80 дБ. Второе слагаемое в формуле (12.24) учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при передаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник и носит название характеристической (собственной) фазы или фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc1, Zc2 и Гc образуют систему характеристических (собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характеристических параметров по апараметрам осуществляется с помощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ - с помощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соотношения, т. е. выразим апараметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем

Параметр А11 определяется из произведения (12.27) и (12.29)

Чтобы найти параметр А12, необходимо перемножить (12.28) и (12.30)

Остальные два параметра получаются из отношений (12.28) к (12.30) и (12.27) к (12.29):

Уравнения передачи (12.4) в апараметрах после подстановки в них величин из (12.31)-(12.34) превратятся в уравнения передачи в характеристических параметрах:

Для симметричного четырехполюсника, где Zc1 = Zc2 = Zc эти уравнения примут вид

Запись уравнений передачи в форме (12.35) широко применяется для описания цепей с распределенными параметрами (см. 13. Цепи с распределенными параметрами).

Формулы (12.13)-(12.15) и (12.31)-(12.34) позволяют выразить параметры XX и КЗ через характеристические параметры. Действительно,

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюсников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А результирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюсники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характеристическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными передачи Гc1, Гc2 и Гc3.

Согласование четырехполюсников состоит в том, что характеристические сопротивления со стороны их соединения выбраны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки - равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Zc4, значит, входное сопротивление этого крайнего четырехполюсника будет равно характеристическому сопротивлению Zc3 предшествующего четырехполюсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего четырехполюсника оказывается равным характеристическому сопротивлению Zc2 крайнего левого четырехполюсника. Следовательно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюсника равно Zc1 и согласовано с внутренним сопротивлением генератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2-2" названы выходными сопротивлениями четырехполюсников. Определим характеристическую постоянную передачи результирующего четырехполюсника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составленный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырехполюсников, имеет характеристические сопротивления, равные характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсников. Учитывая, что Гс = Ас + jВс, можно записать:

12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного включения четырехполюсника является наиболее благоприятным для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопротивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристические сопротивления четырехполюсника являются резистивными. Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех частотах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях (см. рис. 12.1), когда Zг № Zс1 и Zн № Zс2. В этом случае Zвх1 № Zг и Zвх2 № Zн. Несогласованность на входе приводит к тому, что часть энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и возвращается к генератору. Изза несогласованности на выходе не вся энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отражается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какаято часть энергии будет теряться за счет многократного ее отражения на входных и выходных зажимах четырехполюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление четырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке Zн на выходе четырехполюсника, с полной мощностью S0, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке Zн (см. рис. 12.1)

Полная мощность S0 выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора, т. е. на Zг, и подключенном непосредственно к его зажимам:

Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах (Нп), подсчитывается по формуле

В (12.36) и (12.37) входят действующие значения Uг и U2, которые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти формулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ослабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой

где Ac - характеристическое ослабление четырехполюсника; DA1, DA2 - дополнительные ослабления изза несогласованностей на входе и выходе четырехполюсника:

DA3 - дополнительное ослабление за счет многократного отражения энергии от входных и выходных зажимов четырехполюсника:

При согласовании четырехполюсника с генератором Zг = Zc1 и DA1 = DA3 = 0. При согласовании четырехполюсника с нагрузкой Zн = Zc2 и DA2 = DA3 = 0.

Если согласование полное, т. е. Zг = Zc1 и Zн = Zc2, то Ар = Ас, т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характеристическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырехполюсника рабочее ослабление больше собственного ослабления вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной величины Гр - рабочей постоянной передачи четырехполюсника: где Вр - рабочая фазовая постоянная.

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функ-цией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) называется отношение выходной электрической величины к входной электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию (см. ).

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением Uг, а реакцией четырехполюсника на это воздействие - напряжение с комплексным действующим значением U2 или ток с комплексным действующим значением I2, то получаются комплексные передаточные функции общего вида:

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций (см. ):

Hu = U2/U1 - комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

Hi = I2/I1 - комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей - коэффициент усиления по току);

HZ = U2/I1 - комплексное передаточное сопротивление;

HY = I2/U1 - комплексная передаточная проводимость.

Передаточные функции четырехполюсника выражаются через любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,

Можно вычислять передаточные функции в различных режимах работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, согласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе (разомкнутые зажимы 2-2") комплексный коэффициент передачи по напряжению находится из (12.39) при Zн = Ґ

Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2-2") получим из (12.40) при Zн = 0:

При согласованном включении симметричного четырехполюсника из (12.39) следует

Формула (12.43) устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению согласованно включенного симметричного четырехполюсника с его характеристической (собственной) постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы и выражения их через интересующие нас параметры.

Часто используют так называемую рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

Рабочая передаточная функция непосредственно связана с рабочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из (12.44) и (12.36) вытекает, что

Справедливы также более общие соотношения: или.

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое (периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по Лапласу Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), получают операторные передаточные функции Н(р), которые представляются в общем виде (7.41):

где р01, р02, ..., р0n - нули передаточной функции; р1, р2, ..., рm - полюса передаточной функции; Н = ап/bт.

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, a, в режиме XX на выходных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника согласно (12.39)

В режиме XX Zн = Ґ и согласно (12.41) и (12.8)

Используя операторную форму записи, имеем

Ответ: Y11 = Y22 = 0,01j;

Y12 = Y21 = -1,26Ч10-2exp(j1,25).

3. Объяснить, в каких случаях следует включать цепи согласованно?

5. Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собственного (характеристического)?

6. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

7. Определить коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

9. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для побразного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви - емкость С.

10. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.22, при R = = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

11. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией" Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

12. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 12.18, а, если выходным напряжением является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.


13. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.


Четырехполюсники.

Общая теория четырехполюсников.

Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющей две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными. К входным зажимам присоединяют источник питания, а к выходным зажимам – приемники энергии.

Теория четырехполюсников дает возможность единым методом анализировать электрические схемы большого объема.

Пассивный четырехполюсник – не содержащий источников энергии (ЛЭП, усилители).

Активный четырехполюсник – содержащий источники энергии.

Автономный четырехполюсник – у которого действие внутренних независимых источников энергии не компенсируется.

Линейные и нелинейные четырехполюсники.

Четырехполюсник является нелинейным, если в четырехполюснике имеется хотя бы один нелинейный элемент.

Симметричный и несимметричный четырехполюсник.

Симметричный четырехполюсник – это четырехполюсник, в котором перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет его входных и выходных токов и напряжений.

Уравнение линейного, пассивного четырехполюсника.

Зависимость между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различных формах.


или в матричной форме

,

где и- матрицы-столбцы напряжения и тока на первичных и вторичных выводах соответственно

А=

- квадратная матрица коэффициентов.

Всего можно записать 6 различных по форме, но по существу эквивалентных пар уравнений.

Y =

или

=

Z или

H или

G или

B или

Эквивалентные четырехполюсники – четырехполюсники у которых при взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются.

Линейный, пассивный четырехполюсник в установившемся синусоидальном режиме.




∆ 11 /∆; ∆=

; ∆ 11 =

;


∆ 11 /∆

-∆ 12 /∆

;=∆ 21 /∆

-∆ 22 /∆

;

Y 11 =∆ 11 /∆;Y 12 =-∆ 12 /∆; Y 21 =∆ 21 /∆; Y 22 =-∆ 22 /∆;




;


Тогда получим:


; Z 12 =-Z 21 ;Y 12 =-Y 21 ;

Перейдем к системе А параметров




Подставляем полученный результат в (*):


Используя выражения (1) и (2) запишем систему:


,где

AD-BC=1 - уравнение связи для А параметров.

Таким образом, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами, а четвертый определяется из этих независимых.

Экспериментальное определение параметров четырехполюсников.

    Измерение параметров при Z пр =∞ I 2 =0 – опыт холостого хода(ХХ)

    Измерение параметров при Z пр =0 U 2 =0 – опыт короткого замыкания(КЗ)

Особо важно при измерении параметров мощных устройств, так как мощность в опытах ХХ и КЗ меньше, чем в номинальном режиме.

При опытах холостого хода и короткого замыкания подводимая к первичным зажимам мощность идет только на покрытие потерь внутри четырехполюсника. При номинальном режиме она значительно больше, так как происходит передача энергии во вторичную цепь к приемнику.


Тогда для опыта холостого хода имеем:

И для опыта короткого замыкания:

Накладывая эти режимы, получаем:

Из полученных выражений можно найти:


Z 1 K – сопротивление со стороны первичных зажимов, когда вторичные зажимы соединены накоротко; Z 10 – сопротивление со стороны первичных зажимов, когда вторичные разомкнуты.

Эквивалентные схемы четырехполюсников.

Пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, следовательно простейшая эквивалентная схема содержит три элемента.



параметр








Условие симметрии четырехполюсника в А параметрах:

,что соответствует:

для Т-образной схемы

для П-образной схемы

Х


арактеристические параметры четырехполюсника.

Каскадное соединение нескольких четырехполюсников – называют цепной схемой, а отдельные четырехполюсники – звеньями этой цепной схемы.

Согласованием звеньев цепной схемы с сопротивлением источника ЭДС, звеньев между собой и звеньев с сопротивлением нагрузки называют случай, когда одновременно имеют место следующие условия:

  1. Z вых(k+1) =Z вх(k+1)

    Z вых(n+1) =Z n

Для определения входного и выходного сопротивления разорвем цепную схему по АА’ , тогда сопротивления цепи для обеих частей будут Z вх k и Z вых(k -1) (ЭДС закорочено, Z 1 – оставлено)

При соблюдении условий согласования, сопротивления Z k вх иZ (k +1)вых называют входным и выходным характеристическими сопротивлениями k-ого звена четырехполюсника.

Соединение всех четырехполюсников цепной схемы при указанных условиях называют характеристически согласованным соединением.

Так как Z k вых =Z k вх, то можно Z kc =Z kc .

Рассмотрим первый четырехполюсник цепной системы:


тогда


Для обратного четырехполюсника можно записать:


Решаем совместно последние равенства:




В этом случае характеристическое сопротивление называют повторным.

Необходимо ввести еще один параметр, связывающий процессы на входе и на выходе:


- мера передачи.

Выразим меру передачи из А параметров:



Для симметричного четырехполюсника имеем:



ln(U 1 e jψ 1)/(U 1 e jψ 2)=ln[(U 1 /U 2)e j(ψ 1 -ψ 2) ]=ln(U 1 /U 2)+j(ψ 1 -ψ 2)=α+jβ

где α=ln - коэффициент затухания,

β=ψ 1 -ψ 2 – коэффициент фазы(на сколько изменился сдвиг фаз) [рад].

Единица измерения затухания Непер [Нп].

1Нп означает, что напряжение U 2 меньше U 1 в е раз, т.е. 2,718

α=20lg(U 1 /U 2) [дБ]-децибел

α=1 U 1 /U 2 =10 1/20 =1,12

Определение характеристических параметров через опыты ХХ и КЗ.


XX




наложим режимы КЗ и ХХ друг на друга:


Уравнение четырехполюсника, записанное через гиперболические функции.

Для симметричного четырехполюсника А форму записывают через гиперболические функции от аргумента


Соединение четырехполюсников

(продолжение).

а. Каскадное соединение


Задача: определение параметров эквивалентного четырехполюсника.

Кроме условий (*),(**) справедливы:


В матричной форме имеем:


б. Параллельное соединение


в. Последовательное соединение

Исследование режима работы сложной электрической цепи часто сводится к установлению связи между токами, напряжениями и мощностями различных ее участков или ветвей. При этом режим остальной части цепи может оставаться неизвестным, хотя все ее параметры учитываются при решении задачи.

В таких условиях рассматриваемая цепь может определяться обобщенными параметрами на соответствующих зажимах, относительно которых параметры заданы или должны быть найдены.

Часть цепи, которая характеризуется обобщенными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и потенциалами на ее зажимах, называется многополюсником. Число полюсов многополюсника равно числу зажимов на границе данной части цепи. Многополюсники часто условно изображаются в виде прямоугольников с соответствующим числом зажимов-полюсов. Так, на рис. 8-1 показано условное изображение пассивного двухполюсника, на рис. 8-2 изображен трехполюсник, а на рис. 8-3 - четырехполюсник.

Практически при исследовании электрических цепей чаще приходится пользоваться двухполюсниками, трехполюсниками и четырехполюсниками

с фиксированными зажимами для присоединения источников электрической энергии и приемников. Четырехполюсники, не содержащие в своих ветвях источников энергии, называются пассивными, к числу которых относятся, например, линии передачи электрической энергии и трансформаторы. Четырехполюсники, содержащие в своих ветвях источники энергии, называются активными.

Для изучения теории и методов расчета режимов пассивных четырехполюсников рассмотрим схему с двумя источниками энергии.

Выделим две ветви с источниками (рис. 8-4). Тогда остальную часть схемы можно рассматривать как пассивный четырехполюсник с первичными - входными зажимами и вторичными - выходными зажимами при этом внутренние сопротивления источников энергии отнесены внутрь четырехполюсника. Положительные направления токов в этих ветвях и напряжений на их зажимах выбраны в соответствии с направлениями э. д. с. (рис. 8-4).

Пользуясь методом контурных токов (при выбранных положительных направлениях токов и напряжений ), напишем следующие уравнения:

где при (питание четырехполюсника со стороны первичных зажимов и разомкнутые вторичные); при (питание четырехполюсника со стороны вторичных зажимов и разомкнутые первичные).

Форма записи уравнений (8-1) называется формой Z. Эти уравнения можно записать и в матричной форме:

Если из уравнений (8-1) выразить токи Д и А через напряжения то получаются следующие уравнения:

Уравнения (8-2) могут быть получены и непосредственно из схемы рис. 8-4 методом узловых потенциалов. Форма записи уравнений (8-2) называется формой Y; эти уравнения можно записать также в матричной форме:

Для анализа четырехполюсника с транзисторами (см. гл. 9) часто применяются уравнения с так называемыми смешанными (гибридными) параметрами, в которых независимыми переменными являются напряжение и ток , а зависимыми - напряжение и ток . Эти уравнения легко получаются из (8-1) в следующем виде:

Аналогично (8-1а) и (8-2а) уравнения (8-3), которые называются формой Н, можно записать в матричной форме:

Для исследования режимов четырехполюсников при их каскадном соединении целесообразно иметь такую форму уравнений, в которой напряжение и ток выражены через напряжение и ток . С этой целью по теореме о компенсации заменим падением напряжения в сопротивлении от тока , направленного навстречу (рис. 8-5). Эту схему сможно рассматривать и как четырехполюсник с источником э. д. с. на входных зажимах и сопротивлением нагрузки на выходных.

В связи с изменением положительного направления тока (рис. 8-5) в уравнениях (8-2) для этой схемы изменится знак перед током :

В результате совместного решения уравнений (8-5) относительно получим:

где - безразмерная величина;

Имеет размерность сопротивления;

Имеет размерность проводимости;

Безразмерная величина.

Форма записи уравнений (8-6) называется формой А.

Коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D связаны между собой соотношением



top