Плоский конденсатор емкостью с 0 заполняется диэлектриком. Основные расчеты емкостей

Плоский конденсатор емкостью с 0 заполняется диэлектриком. Основные расчеты емкостей

Физика на 100 Электродинамика Гойхман ГС

Задача 1 (Олимпиада «Физтех-2015). Две проводящие пластины с зарядами Q >О и -4Q расположены параллельно и напротив друг друга (см. рис.). Площадь каждой пластины S, размеры пластин велики по сравнению с расстоянием d между ними, и можно считать, что заряды распределены по каждой поверхности пластин равномерно.

1) Найти разность потенциалов левой и правой пластин.

2) Найти заряд на левой стороне левой пластины.

3) Найти силу притяжения пластин.

Решение . Изобразим на рисунке линии напряженности электрического поля каждой пластины. Напряжённость электрического поля между пластинами равна геометрической сумме напряжённостей составляющих полей. Видно, что направление векторов напряженностей «синих» и «красных» полей совпадает. А потому . А разность потенциалов между пластинами равна . Силу притяжения пластин определим по формуле . Это справедливо, учитывая, что левая пластина находится в поле правой пластины.

Для определения заряда на левой стороне левой пластины учтём, что поля внутри металического проводника нет. Под действием поля правой пластины произойдёт перераспределение зарядов на левой и правой сторонах левой пластины (электростатическая индукция). Пусть на левой стороне левой пластины индуцируется заряд q , тогда на правой стороне заряд будет равен Q - q . Таким образом, внутри левой пластины создаётся, как бы, поле трех пластин: левой и правой сторон левой пластины и целиком правой пластины. Их векторная сумма равна нулю: .

Отсюда и .

Ответ: , ,

Задача 2 (Олимпиада «Физтех-2015). Три небольших по размерам положительно заряженных шарика связаны попарно тремя легкими непроводящими нитями и находятся неподвижно в вершинах равнобедренного треугольника со сторонами a , 2а, 2а . Каждый из шариков, связанных короткой нитью, имеет массу m и заряд q . Третий шарик имеет массу 3m и заряд 2q . Короткую нить пережигают, и шарики начинают двигаться. В момент, когда шарики оказались на одной прямой, скорость шарика массой 3m оказалась v .

1) Найдите в этот момент скорость двух других шариков.

2) Найдите q, считая известными m, v, а.

Решение . После пережигания короткой нити в результате взаимодействия только друг с другом заряженные шарики приходят в движение. Нить при этом остаётся натянутой, так как шарики все заряжены одноименным зарядом.

Рис. 1

Рис. 2

По закону сохранения импульса . С учётом направления векторов скорости и из соображений симметрии .

Для нахождения заряда q воспользуемся законом сохранения энергии. Связанная в соответствии с рис. 1 система шаров обладает потенциальной энергией; в ней все шары взаимодействуют друг с другом попарно. Та же система шаров на рис.2 кроме попарного взаимодействия еще и движется; следовательно имеется и энергия кинетическая. Поэтому

После упрощений и с учётом получим

Здесь

Ответ:

Задача 3 (Олимпиада «Физтех-2014). Плос кий воздушный конденс атор ёмкостью С 0 и р асстоян и ем межд у о бк л адками d за ряж ен до напряжения U 0 и отсо ед инён от источника .

Решение. Если полагать, что расстояние d между пластинами значительно меньше размеров самих пластин, то поле внутри однородно и имеет напряженность, равную . Каждая из пластин находится в поле другой пластины с напряженностью, равной . Поэтому сила притяжения равна

.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой . Увеличение расстояния между пластинами на сделает ёмкость конденсатора, равной .Заряд при этом не изменится и останется равным q . Вначале энергия электрического поля конденсатора была равна , а затем - . Работа, совершённая при раздвигании обкладок, увеличила энергию конденсатора. При этом

Ответ:

Задача 4 (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.) так, что диэлектрик заполняет половину объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в два раза.

    ε

Решение. Если конденсатор без диэлектрика равна C , то накопленный на нём заряд равен . Заполненный наполовину диэлектриком конденсатор можно представить в виде двух параллельно включённых конденсаторов: один с ёмкостью , а второй - ёмкостью . По условию напряжение снизилось вдвое. При этом заряд первого равен , а заряд второго - . При этом . Отсюда . Поэтому ε=3.

Первоначально напряжённость поля равна , где d - расстояние между пластинами. После ввода диэлектрика . Таким образом, .

Ответ: 1) уменьшилась вдвое; 2) ε=3

Задача 5 (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.), толщина которой равна 2/3 от расстояния между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 2/3 объёма конденсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается в два раза.

    Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

Решение. В отсутствии пластины из диэлектрика заряд на конденсаторе равен . После ввода пластины этот конденсатор можно представить как два последовательно включённых конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком. По условию ёмкость верхнего конденсатора равна 3 C , а нижнего - 1,5ε C . Тогда общая ёмкость равна . Тогда заряд на пластинах этого конденсатора равен . Так как по условию , то . Отсюда . И, наконец, ε=4.

Так как заряд вырос в два раза, то напряженность поля в воздушном промежутке также выросла в два раза.

Ответ: 1) увеличится в два раза; 2) ε=4.

Задача 6 (Олимпиада «Физтех-2013). Проводящий шарик радиусом R с зарядом Q имеет потенциал φ 1 =200 В. Каким станет потенциал φ 2 шарика, если он окажется внутри полого проводящего шара с радиусами сферических поверхностей 2 R и 3 R и зарядом 2 Q ? Центры заряженного шарика и полого шара совпадают.

q 1

q 2

Решение. На внутренней и внешней поверхностях полого шара индуцируются заряды q 1 и q 2 , причём q 1 + q 2 =2 Q . Для начала определим эти индуцированные заряды. Следует напомнить, что потенциал на поверхности одиночной сферы и вне её обратно пропорционален расстоянию от центра сферы, а внутри одиночной сферы равен потенциалу на поверхности. Тогда по принципу суперпозиции полей потенциал на внешней поверхности сферического слоя

,

а на внутренней поверхности того же сферического слоя -

.

Но внутри проводника потенциал одинаковый, поэтому

Отсюда, учитывая q 1 + q 2 =2 Q , получим q 1 =- Q и q 2 =3 Q . Тогда искомый потенциал

Ответ: 300 В

ε 2

Задача 7 (Олимпиада «Физтех-2006). Две одинаковые половинки плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε 1 и ε 2 (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q . Определить величину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора.

Решение. Напряжённость электрического поля между обкладками конденсатора складывается из напряжённостей полей зарядов на обкладках и поляризационного заряда диэлектрика. Для верхней половины конденсатора по принципу суперпозиции полей . Здесь - напряжённость в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах Q , а - напряжённость поля поляризационного заряда. Учтено, что индуцированный заряд слева на диэлектрике отрицательный . Аналогично в нижней половине конденсатора . Значения и различны, так как при поляризации различных диэлектриков произошло перераспределение зарядов на обкладках конденсатора.

Учитывая, что , и . Здесь - заряд верхней половины пластин, - индуцированный заряд верхнего диэлектрика, а S - площадь половинки обкладки. Отсюда

,

и

Аналогично

Кроме того, и, учитывая (разность потенциалов) или , получим, опуская алгебраические подробности,

Ответ: , отрицательный.

Задачи для самостоятельного решения.

    Найти разность потенциалов правой и левой пластин.

    Найти заряд на правой стороне левой пластины.

    Найти силу отталкивания пластин.

    Найти разность потенциалов левой и правой пластин.

    Найти заряд на правой стороне правой пластины.

    Найти силу притяжения пластин.

    Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

    Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

    Ответ: 1) уменьшилась втрое; 2) ε=5

    Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

    Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) уменьшилась в два раза; 2) ε=4

    Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

    Найдите диэлектрическую проницаемость ε материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) уменьшилась в три раза; 2) ε=7

    (Олимпиада «Физтех-2011). Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рис.), толщина которой равна 5/6 от расстояния между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 5/6 объёма конденсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается в три раза.

    Во сколько раз и как изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?

    Найдите диэлектрическую проницаемость материала диэлектрической пластины.

Ответ: 1) увеличится в 3 раза; 2) ε=5.

    (Олимпиада «Физтех-2013). Потенциал электростатического поля в точке А на расстоянии R от точечного заряда Q равен φ 1 =300 В. Каким станет потенциал φ 2 в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего шара радиусами поверхностей 3 R и 4 R и зарядом 3 Q Q равен φ 1 =500 В. Каким станет потенциал φ 2 в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего шара радиусами поверхностей 5 R и 7 R и зарядом 6 S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами d 1 и d 2 и диэлектрическими проницаемостями ε 1 и ε 2 (см. рис.). Между обкладками конденсатора поддерживается разность потенциалов E . Определить величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора.

    Ответ:

345) Два одинаковых воздушных конденсатора емкостью С0 каждый соединены последовательно. Один из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью. Определите емкость батареи в этом случае:

346) Укажите формулу, определяющую работу сил электрического поля по перемещению заряда q вдоль l произвольного пути между точками 1 и 2:

347) Конденсатор зарядили до напряжения 1,2 кВ, при этом заряд на его

a) 20 пФ. обкладках оказался равным 24 нКл. Чему равна емкость конденсатора:

348) Свободный электрический диполь расположили в однородном электрическом поле, как показано на рисунке. Что будет происходить с диполем:

a) Диполь повернется против часовой стрелки.

b) Диполь останется в прежнем положении.

c) Диполь повернется по часовой стрелке.

d) Диполь будет перемещаться вправо.

e) Диполь будет перемещаться влево.

349) Потенциалы двух близких параллельных эквипотенциальных плоскостей 1 и 2 равны 3,00 В, 3,05 В. Расстояние между плоскостями 0,5 см. Определите приближенное значение модуля напряженности поля Е и укажите направление вектора напряженности электрического поля:

a) 10 В/м от 1 к 2.

b) 100 В/м от плоскости 1 к 2.

c) 0,1 В/м от 2 к 1.

d) 10 В/м от 2 к 1.

e) 0,01 В/м от 2 к 1.

350) Между пластинами заряженного плоского конденсатора поместили металлический стержень. Каково соотношение между потенциалами в точках А, В и С:

351) Какое из свойств электростатического поля указывает на то, что оно является потенциальным:

a) Работа сил поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю.

b) Электрическое поле обладает энергией.

c) Напряженность поля в каждой точке одинакова.

d) Поле совершает работу при перемещении в нем заряженной частицы.

e) Поле оказывает силовое воздействие на заряженные тела.

352) Какую скорость приобретет заряженная частица (заряд q, масса m), пройдя в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов U:

353) Как определяется поток вектора напряженности электрического поля через конечную поверхность S произвольной формы:

354) Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле:

a) 1 и 21- сообщает частице ускорение, 2- совершает работу, изменяет энергию частицы, 3- изменяет направление движения без изменения энергии. Верно:

c) Только 2

d) Только 3

e) Только 1

355) Как определяется сила, действующая на заряженную частицу, находящуюся в электрическом поле (в общем случае):

356) Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов при перенесении их из среды с относительной проницаемостью в вакуум (расстояние между зарядами r = const):

357) Три одинаковых шарика, имеющих заряды 11 мкКл, -13 мкКл и 35 мкКл, приводят в соприкосновение на короткое время, а затем вновь разводят. Какой заряд окажется на первом шарике:

a) 11 мкКл.

e) -33 мкКл.

358) Как осуществляется взаимодействие между электрическими зарядами:

a) Сила взаимодействия одного заряда на другой передается без какого либо посредника.

b) С конечной скоростью при наличии проводящей или диэлектрической среды.

c) Непосредственно при соприкосновении тел.

d) Мгновенно на любые расстояния.

e) С конечной скоростью посредством электрического поля.

359) Что такое элементарный заряд:

a) Наименьшая "порция" электрического заряда, существующего в природе.

b) Бесконечно малая порция электрического заряда dq.

c) Любой точечный заряд.

d) Единичный положительный заряд.

e) Заряд ядра атома.

360) Между пластинами заряженного плоского конденсатора поместили металлический стержень. Каково соотношение между потенциалами в точках А, В и С?

361) Аккумулятор с ЭДС E=12 В и сопротивлением r =50 мОм заряжается током I=5,0 А: Определите разность потенциалов:

a) 11.75 B

362) Два одинаковых воздушных конденсатора емкостью С0 каждый соединены параллельно. Один из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью. Определите емкость батареи в этом случае:

Емкость конденсатора С, имеющего две параллельно расположенные на расстоянии d друг от друга пластинки с противостоящими площадями S, когда пространство между пластинками заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью ε, вычисляется по формуле

От материала проводящих пластинок (или обкладок) конденсатора емкость не зависит совершенно.

Пример. Чему равна емкость конденсатора, состоящего из листка парафинированной бумаги толщиною 0,1 мм, к обеим сторонам которого плотно прижаты полоски алюминиевой фольги, перекрывающие друг друга сквозь бумагу на площади в 2 см 2 . Пользуясь этими данными и табл. 1 (принимая среднее значение е для парафинированной бумаги равным 2,7), пишем

Из формулы

т. е. что в каждую емкость С может быть влит любой заряд Q, однако, если он будет велик, большим будет и напряжение Е.

При высоких напряжениях возникает опасность пробоя слоя изоляции между пластинами, что заставляет рассчитывать конденсаторы не только по емкости, но и по их диэлектрической прочности, т. е. способности выдерживать напряжения. Опасность пробоя уменьшается, если размер d не брать слишком малым и применять более стойкие диэлектрики. Конденсаторы с воздушным и жидкими диэлектриками при пробоях почти не повреждаются, так как проскочившая искра исчезает бесследно. Пробой твердых диэлектриков сопровождается образованием в них проплавленных или прожженных отверстий и полностью выводит конденсатор из строя. На конденсаторах обычно обозначена величина их емкости, а также "испытательное" и "рабочее" напряжения. Рабочее напряжение — это максимально допустимая разность потенциалов на его обкладках, при которой конденсатор может находиться долгое время, не подвергаясь опасности быть пробитым. Обычно рабочее напряжение в 2-3 раза меньше испытательного. Для большинства конденсаторов, применяемых в усилительной и приемной радиоаппаратуре, рабочее напряжение заключается в пределах 200—500 в.

Если повысить надолго напряжение на конденсаторе до испытательного значения, может наступить пробой. Поэтому испытательное напряжение иногда называют „пробивным“.

В электротехнике и радиотехнике находит применение множество разновидностей конденсаторов, в большинстве которых обкладки делаются из алюминиевой фольги, а изоляцией служит при больших емкостях парафинированная бумага, а при малых — слюда или специальные сорта керамических смесей типа „тиконд". Наряду с постоянными конденсаторами существуют переменные, емкость которых можно изменять в широких пределах. Такие конденсаторы чаще всего делают с воздушным диэлектриком и их применяют в основном в радиоприемниках (ручка настройки). Особую категорию конденсаторов образуют так называемые „электролитики " (электролитические конденсаторы), обладающие очень большими емкостями при сравнительно малых размерах и используемые исключительно лишь в цепях пульсирующего тока (см. стр. 204).

Из сочетаний нескольких конденсаторов можно образовывать различные емкости.

При параллельном соединении конденсаторов общая емкость группы равна сумме емкостей всех конденсаторов:

Поскольку никакая цепь не может быть прочнее самого слабого из ее звеньев, рабочее напряжение для такой группы не может быть больше рабочего напряжения самого слабого в отношении пробоя конденсатора.

При последовательном соединении расчет ведут, пользуясь обратными величинами емкостей

Эта формула не дает сразу величины общей емкости выполненного соединения, что не совсем удобно, следовательно, вычисление окончательного результата лучше вести по таким формулам, вытекающим из вышеприведенной:

для двух последовательно соединенных конденсаторов

а для трех

В смешанных соединениях конденсаторов расчет общей емкости группы легко осуществляется по отдельным участкам параллельных и последовательных соединений.

Конденсаторы разных емкостей практически соединяют последовательно в количестве более трех довольно редко, поэтому приведенные формулы почти полностью обеспечивают запросы элементарной расчетной практики.

Если все последовательно соединяемые конденсаторы совершенно одинаковы, т. е. имеют одну и ту же емкость С и рабочее напряжение Е, то при числе их, равном п,

Пример. Рассчитать общую емкость смешанного соединения конденсаторов, представленного на рис. 2 (т. е. определить емкость одного конденсатора, который может быть включен между точками А и В вместо группы из четырех конденсаторов).

Решение , а) Определяем С" общ последовательного участка из двух конденсаторов 200 и 300 пф

б) Находим емкость С" о6ш, составленную из С" общ и параллельно присоединенного конденсатора 100 пф

С" общ = 120+ 100 = 220 пф.

Рис. 2. Соединения конденсаторов.

в) Наконец, находим С о6щ как емкость, эквивалентную последовательному соединению С" 6ш и конденсатора 220 пф. При этом воспользуемся равенством значений обеих последовательно соединяемых емкостей (число п = 2):



top